소리의 전파와 감쇠

 

  원래 소리는 종파로서 음압, 매질의 입자속도, 매질입자의 변위 등이 편미분 파동방정식으로 묘사되는 진동을 하고, 그 해를 구하여 파동을 표현한다. 그러므로 매질의 점성에 따른 진폭의 감쇠가 나타나게 되어 결국은 아주 먼거리까지 소리가 전달 되지는 못한다. 이들 감쇠는 고음일수록 더 심하게 나타난다. 그러므로 대포 소리를 가까이서 들으면 고음과 뒤섞인 여러 성분의 소리 때문에 음압도 높고 소리도 날카롭다. 그러나 먼 거리에서는 고음 성분이 감쇠되어 도달하지 못하고 저음 성분만이 전달되므로 음압도 작고 소리도 부드럽게 들린다. 그러면 매질에 의한 감쇄가 없다면 소리는 약해지지 않을 것인가? 그렇지는 않다. 매질에 의한 감쇠가 없을지라도 2차원 음파나 3차원 음파는 공간으로 전파하기 때문에 에너지가 확산하므로 음압이 약해지게 마련이다.

 

1) 일차원 소리의 전파

파동 방정식의 해를 라 하면, 일차원 파동방정식은 다음과 같이 구해진다.

 

                                                     ------------------------(1)

(1)식의 일반해는 다음과 같다.

                                            -------------------(2)

 

위 (1), (2)식은 매질에 의한 감쇠(attenuation)가 없는 경우이다. (2)식에서 방향으로 진행하는 음파만 있다면 B=0 이 된다.  이 때 임의 위치에서 음파의 세기가 I 인 소리가 dx 만큼 진행하여 dI 만큼 감소했다면  I---dx---> I-dI 로 쓸 수 있다. 그러면 매질의 감쇠상수(Attenuation constant)를 라고 놓을 때 이므로 양변을 I 로 나누고 각 항을 적분하고 x=0에서 경계조건을 적용하면 다음 관계가 성립한다. 

 

                                                      

따라서 매질에 의한 감쇠가 있으면 B=0인 (2)식은 다음과 같이 주어진다.  여기서 감쇠가 음파의 세기 즉, 단위 면적당 에너지에 적용된 것이고 음파의 세기는 음압의 제곱에 비례하므로 음압이나 입자 변위, 입자 속도 등에 대한 음파식을 나타내면 다음과 같이 감쇄지수에 제곱근관계 때문에 1/2이 붙는다.

 

                                                     

 

감쇠상수 는 매질의 다양한 원인에 의해 나타나기 때문에 매우 복잡하고 주파수에는 대략 비례한다. 공기에서 10만Hz의 초음파의 감쇠상수는 1(Np/m), 1kHz의 소리에는 1/1000(Np/m)의 값을 갖는다. (1Np = 1Neper = 8.7dB)

 

 

2) 이차원 소리의 전파

 

 2차원 음파를 관찰하기는 쉽지 않다. 그러므로 이 경우는 장파장의 물결파를 예로 들어 방사상으로 전파할 때의 진폭변화로 이차원 음파의 진폭 변화를 유추한다.

 

                                                             [그림1] 장파장의 수면파   

 

 

 [그림 1]의 수면파에 대한 파동방정식도 일차원 평면파와 같이 질량보존의 법칙과 운동량 보존의 법칙으로부터 유도된다. 여기서는 그 결과만 제시한다. 단 수면파는 수면 위에서 보았을 때 동심원적으로 전파하기 때문에 2차원 파동이 된다.

 

                                                    여기서

 

이 식의 해를 근사적으로 구할 수 있다. 여기서 진폭이 에 반비례한다는 점이 강조되어야 한다.  감쇠를 무시하면 해는 다음과 같다.

 

                                              

 

 감쇠상수가 α인 매질에서는 진폭감쇠가 일어나기 때문에 2차원 음파의 파동함수는 다음과 같다.

 

                                          

 

 

 

3) 삼차원 소리의 전파

 3차원 음파는 공간에 놓인 점음원에서 상하전후좌우로 전파해 가는 소리로서 실제의 음원에서 3차원으로 방사되는 음파의 파동방정식을 유도하기는 매우 난해하다. 그러므로 여기서는 완전한 구체의 3차원 음파 방사의 이상적인 경우로 한정하여 파동방정식과 그 해를 제시한다. 아무튼 3차원 음파의 파동방정식과 그 해를 표현함에 있어서는 구좌표계(Spherical coordinate system)가 필요하다.

 

                         ,  여기서  (Laplacian operator)

 

이 식의 해는 다음과 같다.

                                            ,    여기서

 

 

 

 감쇠상수가 α인 매질에서는 진폭감쇠가 일어나기 때문에 3차원 음파의 파동함수는 다음과 같다.

 

                                    

 

 아무튼 3차원 음파는 공간을 전파해 가면서 음원으로부터 거리 r 에 반비례하며 진폭이 감소함을 알 수 있다. 이는 감쇠가 없는 매질일지라도 공간상으로 음파가 전파해가는 확산 과정에서 필연적으로 발생하는 문제이다. 고대 그리이스의 야외극장에서 사용한 메가폰은 3차원적으로 소리가 전파하며 약해지는 것을 막고 일차원적으로 소리를 모아 멀리까지 전달하도록 하기 위해 사용한 것임을 알 수 있다.

 

       -------------------------------- by  Dajaehun