소리의 속도(고체)

 

  소리는 소밀파 즉, 종파(longitudinal wave)라서 기체, 액체, 고체 상태의 모든 매질에서 전파된다. 엄밀한 의미로 소리는 공기중으로 전달되는 종파라고 할 수 있으므로 공기가 아닌 매질에서는 소리가 아니고 다른 파동이라고 해야 할 것이지만 우리는 모든 매질을 전달하는 매질 진동을 넓은 의미의 소리라고 할 수도 있다. 실제로 물속에서 돌을 부딪히면 아주 짧고 강한 소리를 들을 수 있다. 이는 물을 따라 전파한 종파 진동이 외이도의 공기에 진동을 전달하여 고막으로 소리를 들을 수 있기 때문이다. 같은 의미로 기차철로에 귀를 가까이 대면 아주 먼곳의 기차소리를 들을 수 있는데 이는 철로를 통해 전달된 진동이 철로에 댄 귀 부분의 공기를 진동시켜 소리로 들을 수 있게 하는 것이다.  물론 물속이나 기차철로에 아주 귀를 대는 경우는 진동이 귀부분의 근육과 뼈를 통해 달팽이관에 직접, 다시말해 골전도에 의한, 고막을 통하지 않고 소리를 느낄 수도 있다.

 

 아무튼 소리는 매질의 진동으로 전달되는 에너지이므로 매질없는 진공에서는 전파되지 않는다. 그러면 매질의 어떤 특성 때문에 소리가 전파하는 것인가? 그것은 탄성(elasticity) 때문이다. 탄성이란 물질을 구성하는 일부분이 외력에 의해 변형되거나 위치 변화가 일어 났을 때 원래대로 복귀하거나 되돌아 가려는 성질을 의미한다. 고체, 액체, 기체 모두 탄성이 있으므로 종파인 소리의 매질이 된다. 그러나 진행방향에 대하여 직각 방향으로 진동하는 횡파(shear wave)는 액체와 기체 매질로는 전달되지 못한다. 횡파는 층밀리기 탄성이 있는 고체에서만 전파된다.

 

 

 

1) 현(絃)의 횡파 속도

 

  현에서는 장력이 주어진다. 현을 횡으로 당기기 전에는 였던 장력이 줄을 당기면 의 장력을 갖는다. [그림 1]에서와 같이 길이 dx인 현이 변위 를 갖는다고 할 때 다음과 같이 파동방정식을 유도할 수 있다.  단, 여기서 변위 의 는 변위좌표가 아니고 변위가 일어난 위치를 나타낸다.

               [그림 1] 오른쪽(+x)으로 진행하는 아래 횡파 붉은색원 내부 현(dx 길이)의 t초 때의 진동 

 

기본적으로는 Newton의 운동방정식(

 

)으로부터 파동방정식이 유도된다. 줄의 선밀도를 라고 할 때, 다음과 같이 간단하게 파동방정식이 유도된다. 선밀도 단위는 kg/m 이다.

 

 

               -----------------(1)

 

이 식의 양변을 로 나누고, 미분 정의식을 적용해 정리하면 다음과 같은 파동방정식이 구해진다.

 

                                  -----------------------------(2)

 

(2)식으로부터 현에서의 횡파의 전파속도를 구할 수 있다.

 

                        -----------------------------------------------------------------------------------(3)

  

 

 

2) 고체에서의 음속

 

 고체에서는 종파나 횡파가 모두 전파할 수 있으며, 매질이 얇은 평판이냐, 두꺼운 평판이냐 또는 덩어리냐 막대냐 등 모양과 크기에 따라 진동 모드가 다양하기 때문에 매우 복잡하다. 예로서 [그림 2]와 같이 막대 형태의 경우에도 다양한 진동이 발생된다.

           [그림 2] 원통형 고체 막대의 다양한 진동 양상(맨위: 종진동, 중간: 비틀림진동, 맨아래: 휨진동)

 

 여기서는 [그림 3]에서처럼 일단은 모든 방향으로 매질의 성질이 균등(isotropic material)한 경우로 한정하여 1차원 파동방정식을 구해보자.  그림의 매질은 등방성 매질의 내부로 볼 수도 있으며, 아니면 종진동하는 단면이 4각인 막대로 보아도 문제가 없다. 여기서 P': x + u, Q' : x + dx + u + du 위치를 나타내며, 진동 중의 작은요소(small element)의 길이는 ( x + dx +u + du) - (x + u) = dx + du (stretched length)가 된다.

 

                                      [그림 3] 종파가 전달되는 막대의 작은요소(small element)의 변위

 

 파동 방정식은 작은요소에 대한 Newton의 운동 방정식을 적용하여 구한다. 즉 알짜힘(net force)= ma를 적용한다는 의미이다. 먼저 막대의 Young's modulus(영율:E)은 E=stress/strain이므로 다음과 같이 F(x)를 구할 수 있다. 여기서 stress는 '단위면적에 작용하는 힘'이고, strain은 '단위길이 당 변위(displacement)'의 크기이다.

 

                 ---------------------------------------------------(4)

 

 그러므로 알짜힘은 다음과 같이 구해진다.

 

                   -------------------------------(5)

 

 (5)식의 양변을 로 나누고, 미분정의식을 적용하여 정리하면 파동방정식이 구해진다. (5)식에서 는 밀도이다. 

 

                   -------------------------------(6)

 

(6)식에서 진동의 1차원 전파속도는 (7)식과 같다.

 

                      --------------------------------------------------------------------------------(7)

  

 

여기서 일단은 결론이 났지만 이런 관계를 액체나 기체로 일반화 시킬 수 있다. 이때는 영율 E 대신에 각 매질에 대한 고유의 탄성율(appropriate elastic modulus) 을 도입하면 모든 매질에 대한 음속()을 표현할 수 있다.  주의할 점은 진동의 전달은 등온적(isothermal)이지 않고 단열적(adiabatic)이라는 것이다. 단열적인 경우는 정적몰비열에 대한 정압몰비열인 비열비 γ가 주어지면 액체의 체적압축율 Ka = γKi의 관계가 성립한다. 여기서 Ka, Ki는 각 각 단열적 압축율, 등온적 압축율이다.  아무튼 각 매질의 경우에 고유탄성율 은 [그림 4]를 참조하여 [표 1]과 같이 정리된다.  물론 Lame 상수를 이용한 다른 표현도 있지만 여기서는 간단 개념 위주로 다룬다.

 

          [그림 4] 막대의 Young's modulus, 액체의 Bulk modulus, 고체의 Shear modulus(층밀리기 변형율)

 

 

고체(solid) 의	막대의 종파 - E	횡파 ------- G	Bulk 종파 --- E + (4/3) G
액체(Liquid)의	액체의 종파 - Ka
기체(Gas)의	기체의 종파 - Ka(=γP)

                     [표 1] 각 매질의 진동 전달 고유 탄성율(appropriciate elastic modulus)

 

 

 

3) 고체의 표면파 

 

 고체의 경우는 표면을 따라 전파하는 표면파(surfacs wave)가 있는데 크게 Lamb wave, Rayleigh wave, Love wave가 있다. 여기서 Lamb wave는 얇은 평판을 따라 전파하는 파동으로 [그림 5]와 같이 두 가지 모드가 있다.

 

                                            [그림 5] Lamb's wave(S: symmetric, A: asymmetric)

 

 반면에 Rayleigh wave는 바다 표면의 파도와 같이 고체가 큰 경우, 한 쪽 표면에서만 표면파가 전파하는 경우이다. [그림 6]을 보면 쉽게 이해할 수 있다.

 

                                        [그림 6] Rayleigh wave와 Love wave 및 입자운동

 

[그림 6]에서 보는 바와같이 Rayleigh wave는 물결파와 유사한 고체 표면파라고 볼 수 있다. 그러나 Love wave는 매우 복잡한 파동임을 알 수 있다. 파동이 전파하는 방향에 대하여 입자가 지면의 앞 뒤로 횡파처럼 진동하는 파동임을 [그림 6]에서 알 수 있다. 표면파에 대한 입자 운동은 안쪽으로 깊이 들어갈수록 작아진다. 

 

 아무튼 표면파는 지진이 일어날 때 전파하는 지진파에서도 관찰 된다. 특히, Love wave 형태의 지진파가 지진피해를 가장 많이 유발시키는 것으로 알려져 있다. 이들 Rayleigh wave와 Love wave는 통상의 지진파인 P파(primary wave), S파(secondary wave)와 구별된다. 왜냐하면 P파와 S파는 소위 매질 내부의 파동으로 Bulk 파(Body wave)이기 때문이다. 지진파의 경우 지질이나 바위 등의 종류에 따라 달라지기는 하지만 지진파일 경우의 각 파동의 전파속도는 P파가 가장 빠르고, 다음 S파, Love wave 순이며,   Rayleigh wave가 가장 느리다. 그러나실제로 표면파의 파동전파 속도에 대한 관계식은 파동의 분산성에 의한 차이가 나타나는 등 매우 복잡하다. 하여튼 표면파는 지진학에서 중요하게 다루어 지지만 다양한 비파괴검사나 물성연구에 그 활용도가 높다.

 

 지금까지 등방성 매질에 대한 파동전파에 대해 살펴 보았으나 결정(crystal)에서의 전파는 Bravase type의 다양한 결정상마다 각기 다른 특성과 방향성이 있기 때문에 다루기가 복잡하다. 각 방향마다 파동의 전파속도가 모두 달라진다. 결국, 결정 고체에서는 압전성, 탄성율, 유전율 등 등 복잡한 특성을 고려한 Christoffel 텐서(tensor)방정식으로 다루어야 한다.      

 

                                      [표 2] 고체에서의 파동의 전파속도

                                                     after Aldred, John, Manual of Sound Recording,

 

 

    --------------------  by   Dajaehun