소리의 발생, 임피던스, 에너지

 

1) 튜브 내에서 일차원 소리의 발생

                                                               [그림1] 속도 U(t)로 진동하는 피스톤(회색부분)

 

 [그림1]에서와 같이 x=0에 놓인 피스톤이 U(t)의 속도로 진동하면 소리가 발생하여 오른쪽으로 음속 c로 이동하게 된다.  이 소리는 실린더 벽과 공기의 점성을 무시하면 평면파가 될 것이다. 이 소리의 음압은 다음과 같이 표현된다.  음압 로 놓고,   의 관계식으로부터  이 되므로 이 식의 양변을 시간 t 로 미분하면 다음과 같은 관계가 성립한다.

 

 

                   

 

따라서 질량 보존식(참조-소리파동 방정식의 (1)식) 에서  이 성립하므로 앞의

 

 

를 대입하면 이 된다. 이 식의 양변을 x로 적분하여 다음의 관계식을 구하게 된다. 

 

                     

 

 이 식은 곧 입자의 속도가 와 의 조합인 의 함수이며 그 평균값에 대하여도 항상 성립함을 의미한다. 아무튼 이 식의 중요한 의미는 음압과 입자속도의 관계를 나타내고 있다는 사실이다.

                 

                    ----------------------------------- (1)

 

(1)식은 매우 유용한 관계식이다. (1)식으로부터 를 정의한다. 즉, 입자 속도에 대한 음압의 비는 매질의 밀도와 그 매질에서의 음속의 곱으로 주어지는데 이를 음향임피던스(Acoustic Impedance)라고 부르기도 하고, 또는 매질의 특성임피던스(Characteristic Impedance)라고 부르며, 소리의 반사나 굴절 같은 성질을 다루는데 매우 중요한 인자로 이용된다. 단위는 Kg/sec.m = rayl 이다. 참고로 공기의 특성 임피던스는 415rayl이다.

 

  다시 피스톤으로 시선을 돌려 소리의 발생을 생각하자. [그림1]에서 발생하는 음압은 다음과 같이 argument를 변경 시킬 수도 있다. 

    

                     

 그러므로 입자속도는 특성임피던스의 관계식으로부터 다음과 같이 로 표현된다. 그런데 x=0인 피스톤 표면에서는 입자 속도와 피스톤 표면 속도가 같으므로 가 된다.  그러므로 x=0인 표면에서의 음압은 이고, 이로부터 튜브내의 임의 위치에서의 음압은 다음과 같아진다. 이 평면파는 음속 c로 전파하고, 진폭은 일정하게 유지된다.

                               

                  ----------------  (2)

 

(2)식은 진동하는 물체의 표면의 속도함수를 알면 발생하는 소리의 음압을 알 수 있게 한다.

 

 

 

2) 평면 음향파의 에너지

 

  소리음압 p와 공기입자의 속도 u의 곱은 공간의 단위면적을 단위시간 당 통과하는 소리에너지(Acoustic energy)로써 소리의 세기(Intensity)이다.  이는 결국 단위부피당 소리에너지인 에너지밀도 e에 음속 c를 곱한 것과 같다. 

 

   

                          

 

이 식에서 소리에너지 밀도 는 공기입자의 위치에너지(potential energy) 밀도 와 공기입자의 운동에너지 밀도 의 합이며,

           

                        

 

따라서 

                    

                        

 

 이 식에서 는 소리 음압에 의한 밀도의 변화값이다( 소리의 파동방정식 참조). 아무튼 소리의 에너지 밀도에서 알 수 있는 사실은, 소리는 결국 에너지의 공간 전파를 의미하는 것이며, 이는 매질의 운동에너지와 위치에너지로 에너지의 변환이 반복되면서 공간으로 전파한다는 의미이므로 소리의 전파에는 매질이 있어야 한다는 뜻이기도 하다. 반대로 해석하면 소리파동은 결국 매질입자의 운동에너지와 위치에너지의 교환작용의 공간전파라고 할 수 있다.

 

  ---------------- by  Dajaehun