소리에 의한 공기입자의 변위, 속도, 가속도

  소리는 공기를 매질삼아 전파한다.  이때 공기입자는 소리의 전파방향과 나란한 방향으로 진동하기 때문에 소리를 종파라고 부른다. 공기입자 한 개는 진동을 하지만 전체적으로는 공기입자들이 뭉치고 흩어지는 모양으로 나타나고 이 뭉친 곳의 압력은 대기압보다 높아지고, 흩어진 곳은 국소적인 압력이 낮아진다. 압력이 높은 곳을 밀하다하고 낮은 곳은 공기가 흩어진 곳이라서 소하다고 한다. 따라서 소리를 소밀파라고도 부른다. 소리가 전파할 경우 밀한 부분은 밀한 형태를 유지하면서 또, 소한 부분은 소한 상태를 유지하면서 소리의 전파 방향으로 소리의 전파 속도로 진행한다.(참조: 소리의 표현 [그림1](http://soryro.tistory.com/145))

  소리가 전파할 때 공기입자는 진동을 한다. 그러나 열역학에 의하면 공기를 구성하는 산소와 질소 분자들은 상온에서 초당 수백미터를 이동하는 분자운동을 하기 때문에 언뜻 공기입자가 진동만 한다는 사실이 이해가 가지 않는다. 이 때문에 공기분자들의 열역학적인 효과는 일단 정역학적인 관점으로 단순하게 다룬다.  즉, 열역학적으로 운동하는 공기분자들이 서로 충돌하고 튕겨나가고 마구 움직일지라도 공기분자의 전체적인 분포의 변화가 극미하고 순간적이기 때문에 공기매질 자체의 등방적인 분포는 항상 유지된다고 보는 것이다.  이런 이유로 많은수의 공기분자들이 들어있는 아주 극미한 체적의 공기입자를 설정하여 변위, 속도, 가속도를 다룬다.

1) 공기입자의 변위

                                                 [그림1] 순음의 변위진폭

 [그림1]에 연속적인 사인파형 순음(continuous sinusoidal pure tone)에 대한 변위(displacement)를 주었다. 변위란 공기입자의 위치 변화를 의미하되 좌에서 우로 이동하면 +변위, 우에서 좌로 이동하면 -변위를 나타낸다. 따라서 +에서 -로 변하는 위치는 공기입자가 몰리므로 밀해지고, -에서 +로 변하는 위치는 공기입자가 양쪽으로 이동함으로 소해진다. 

  주파수 f(Hz), 음압 Prms( μbar=1/10Pa)인 순음이 음속 c(cm/s)로 진행할 때, 입자변위 D는 다음과 같다.               

                           

여기서 ρ는 공기의 밀도(0.00118g/㎤)이며, U(cm/s)는 입자속도의 제곱근평균이다. 제일 나중의 수치는 22℃인 공기에 대응하는 밀도와 음속을 넣어 계산된 값이다. 이 수식에 눈알(eyeball)을 진동시켜 시각교란을 일으키는 16Hz의 μbar(≒150dB)인 경우 변위가 2.4cm나 된다. 반면에 최저 가청음인 3900Hz, μbar(-6dB)인 경우 변위는 cm로 계산된다. 이는 수소분자 크기보다도 더 작은 변위이다. 이런 공기의 변위량을 사람의 귀가 감지한다니 귀의 감도가 얼마나 예민한지를 알 수 있다.

 

2) 공기입자의 속도

  주파수 f(Hz), 음압 Prms( μbar=1/10Pa)인 순음이 음속 c(cm/s)로 진행할 때, 평균제곱근 입자속도 U(cm/s)는 다음과 같다. (참조: 소리의 발생, 임피던스, 에너지)

                         

이 식으로 22℃에서 음압 2000μbar(140dB)인 소리가 진행할 경우에 공기입자의 유효속도는 49.3cm/s= 1.77km/hr로 계산된다.  이 속도는 아주 느린 속도이고 보통의 소리는 120dB 이내의 크기를 갖는 소리이기 때문에 이 보다 훨씬 더 느린 공기입자 속도를 갖는다. 그러므로 느린 공기흐름인 미풍을 피부로 감지하는 인간도 소리가 들려올 때 소리에 의한 공기의 흐름을 피부로 지각하지는 못한다. 

 

3) 공기입자의 가속도

  주파수 f(Hz), 음압 Prms( μbar=1/10Pa)인 순음이 음속 c(cm/s)로 진행할 때, 평균제곱근 입자가속도 A()는 다음과 같다.    

                        

사실 진동에서 가속도에 대한 정보는 매우 중요하다. 왜냐하면 진동체의 질량을 알면 Newton의 공식에 의해 힘을 계산할 수 있기 때문이다. 예를 들어 22℃에서 콘스피커(cone speaker)로 1000Hz, 100μbar=10Pa(114dB)의 소리를 방사한다면 스피커 바로 앞의 공기입자의 속도는 U=P/40.6=2.46cm/s로 계산되고 이를 이용해 입자가속도를 구하면 A=6.28x1000x2.46=15448 =15.8G(G=중력가속도=980)가 된다. 

  아무튼 콘스피커에서 발생하는 소리에 대한 입자가속도의 값은 콘스피커의 진동콘의 가속도와 같다고 볼 수 있으므로 콘의 질량을 알면 질량x가속도의 공식으로 콘진동력의 크기를 구할 수 있다. 이는 역으로, 필요로하는 출력의 스피커를 설계할 경우, 스피커의 자기회로를 어떻게 설계해야 하는지에 대한 지침을 제공하기도 한다. 아무튼 위의 입자가속도 공식을 콘스피커에 적용하여 살펴보면 동일 출력을 유지하는 경우의 스피커에서 고주파수음을 발생할 경우는 질량이 작아야 한다는 사실을 유추할 수 있다. 이는 스피커가 고주파음을 발생할 때 콘의 중앙부만 진동한다는 사실을 잘 설명해 준다.

 입자의 변위, 속도, 가속도에 대하여 살펴 보았다. 적용공식을 유도하지는 않았지만 기본적으로는 변위를 시간에 대하여 1차 미분함으로써 속도가 구해지고, 2차 미분하여 가속도가 구해지는 수학적 관계는 그대로 적용된다.

      -------------------- by  Dajaehun