경계면과 벽으로 수직입사하는 음파의 반사와 투과

 

1. 두 매질의 경계면에 수직입사하는 음파

 

  [그림1]에서 보여지는 바와같이 특성임피던스가 인 매질과 인 매질의 경계면 로 수직입사하는 음파(sound wave)가 있다. 이 음파는 左에서 右로 입사하며 음압은 I 이고, 주파수는 이므로 로 쓸 수  있고, 반사파는 右에서 左로 이동하기 때문에로 표현되고 투과파는 매질로 투과되므로

로 나타낼 수 있다.(주: 1) 

 

    

                                                [그림 1] 두 매질의 경계면에 수직입사하는 음파

 

이 경우, 경계면에 접촉한 양쪽의 매질 부분은 1) 압력이 같다 2) 매질 입자의 속도가 같다 는 두 경계조건을 만족해야만 한다. 따라서 1)조건으로부터

                                                                    ------------------------- (1)

2)조건으로부터

                                                    ------------- (2)

(1),(2)식으로부터 T를 소거하면

                                                     ---------------- (3)

이 된다. (3)식이 의미하는 바는 반사파의 음압 진폭은 입사파의 진폭에 반사계수(Reflection coefficient)를 곱하여 구해진다는 뜻이다. (3)식에서 보는 바와같이 반사계수가 두 매질의 특성임피던스로 표현된다는 사실이 음향학에서 주어지는 특징적인 것이며 흥미로운 부분이다.

(3)식을 (1)식에 대입하여 정리하면

                                                                -----------------(4)

가 된다. 이는 투과파의 음압의 진폭 T는 입력 음압의 진폭 I 에 음압투과계수(Pressure transmission coefficient)를 곱하여 구할 수 있음을 보여준다. 그러나 매질입자속도는 음압과 같은 투과계수를 갖지는 않는다. (3)식을 (2)식에 대입하여 정리하면 다음과 같다. 이때, 대괄호 속의 값을 속도투과계수(Velocity transmission coefficient)라 한다.

 

                                                ----------(5)

  

 다음은 에너지 관계를 살펴 보자. 경계면에 단위 면적당 입사하는 에너지 즉, 음향세기(Acoustic intensity)는 반사음의 세기와 투과음의 세기의 합이어야 할 것이다.  앞절의 (평면 음향파의 에너지)에서 음향세기는 음압×입자속도= 입자속도×입자속도×특성임피던스 임을 먼저 언급하였다. 따라서 다음식에 R, T를 대입하여 정리하면 입사 음파의 세기가 됨을 확인할 수 있다. 즉, 이 성립한다. 이는 에너지가 보존됨을 의미한다. 

 위 결과를 공기중에서 물속으로 소리가 입사하는 경우에 대비하면 인 경우이므로 근사적으로 ,

가 성립한다. 이는 실제적으로 반사음압과 입사음압이 같아서 모두 반사하는 경우를 의미한다. 단, 투과파 음압의 진폭이 입사파의 2배가 되는데 사실은 입자속도투과계수가 0이 되므로 투과되는 에너지는 0이 된다. 따라서

 이 큰 경우는 투과압력을 (4)식으로 구하지 않고, (음압=매질입자속도)이므로 (5)식을 이용하여 (4')식으로 구해야 한다.

 

                            -------(4')

 반대로 물에서 공기중으로 입사하면 이 되므로 R=-Ⅰ, T=0이 되어 음향에너지가 모두 반사함을 의미한다. 이 때 물표면은 자유단반사면으로 주어진다.  사실 바닷속도 시끄러운데 바닷가에서 파도소리만 들을 수 있고, 바다 속의 여러 고기나 고래 등이 내는 소리를 듣지 못하는 이유가 여기에 있다. 즉, 물과 공기의 매질 특성임피던스가 크게 차이가 나기 때문이다. 공기의 특성임피던스값은 20℃에서 415Rayl이고, 물의 특성임피던스는 Rayl이다.

 

 

(주:1) 로 쓸 수 있다. 일반적으로 과학과 공학에서 복소수를 사용하는 것은 계산이 용이할 뿐만 아니라 실수부와 허수부의 위상, 크기로 물리적인 의미를 부여할 수 있기 때문이다. 복소수는 일반적으로 극형식으로 변환가능하다.  여기서 , 이다.

 

 

 

2. 벽을 통과하는 소리

 

 [그림 2]에서와 같이 단위 면적당 질량이 m인 벽에 음파가 수직입사하는 경우를 생각하자. 벽의 양쪽에는 동일한 유체 매질이 있으며, 벽은 두께를 무시할 수 있을 정도로 얇은 경우이기 때문에 벽의 양쪽에 접촉한 유체매질의 입자속도는 동일하다고 본다.

 

                                                       [그림 2] 벽으로 수직입사하는 음파

 

이 입자속도를 U라고 하면 다음 식이 성립한다.

                                                                -----------(6)

 

다음은 벽을 가속 진동시키기 위한 힘을 구하기 위해 벽의 양쪽의 음압의 차이를 구하여 이를 단위면적에 가해진 힘이 되기 때문에 운동방정식을 세울 수 있다. 벽의 왼쪽의 음압은 이고, 오른쪽 음압은 이므로 다음과 같이 운동방정식을 세울 수 있다.

 

                                                              -----------------(7)

(6)식을 (7)식에 대입하면

                                                                -------------------(8)

(6)식과 (8)식으로부터 R, T를 I 로 나타내면 다음과 같이 정리 된다.

 

                                                  ,----(9)

위 식에서 를 구할 수 있는데 이를 '유체 부하가 걸린 표면 임피던스'라고 부른다.

 

 

 다음은 에너지 투과에 대하여 생각하자. 벽의 단위 면적당 투과에너지 즉, 세기는 다음과 같이 구해진다.  

 

                                                       -------(10)

 (10)식에서 대괄호 속의 값을 '에너지 투과계수(energy transmission coefficient)'라고 한다. 벽이 있는 경우의 에너지 투과계수는 고음 일수록 더 작아진다. 이는 저음 보다 고음이 벽을 투과하기 어렵다는 것을 의미한다. 또, 벽의 단위 면적당 질량 m이 클수록 소리가 투과하기 어렵고, m이 작으면 고음도 쉽게 벽을 투과할 수 있다. 이는 경험적 사실과 잘 일치한다. 질량에 따른 음파의 투과성을 질량효과(mass effect)라고 부른다. 벽을 투과하며 감쇠하는 소리의 세기 계산은 다음과 같이dB로 구한다.

 

 

        ----------------- by  Dajaehun