소리파동 방정식(일차원)

 

  일차원 소리파동 방정식이라 함은 곧 평면파를 의미한다. 일반적으로 점음원에서 3차원 공간으로 소리가 발생하여 방사될 때 파면(wave front)이 구면이 되기 때문에 구면파(spherical wave)라하고, 점음원으로부터 멀리 떨어진 지점에서는 구면이 평면화하기 때문에 구면파가 평면파로 전환된다. 또, 공기와의 점성을 무시할 수 있는 파이프내의 소리 즉, 금관악기나 목관악기의 내부에서 전파하는 소리는 평면파로 간주할 수 있다.

 

  소리는 고체, 액체, 기체 매질에서 국소(local)적인 운동으로 나타나기 때문에 공간좌표와 시간의 변수로 압력(p)이나 밀도(ρ), 매질의 입자속도(u)의 변화를 나타내는 형식으로 묘사될 수 있음을 추정할 수 있다. [그림1]과 같이 설정(control) 체적을 고려한다. 이 control volume은 y, z 축으로는 단위길이를 갖고 x축 방향으로만 물리적 변화가 있는 δx 의 폭을 갖는 체적이다. 

                                                     [그림1] 설정체적

 

   체적  δx 내의 질량은  보존돼야 하므로 시간에 대한 질량의 변화값은 체적  δx 로 유입된 질량과 배출된 질량의 차이와 같아야 할 것이므로 다음과 같은 관계가 성립한다. 

 

        

 이 식에서 ρ', u는 각 각 소리에 의한 미소한 밀도 변화량, x 방향으로의 매질 입자의 속도로서 그 곱은 더욱 작아져 무시할 수 있다. 그러므로 위 식의 양변을 δx로 나누면 도함수 정의가 되므로 정리하면 다음과 같은 식이 된다.

 

                                  ------------------------------------------------------ (1)

 

 같은 방법으로, 운동량(momentum)의 시간에 대한 변화율이 곧 설정된 체적에 작용하는 힘이므로 다음과 같이 쓸 수 있다.

           

       

  여기서    의 미소량의 곱은 무시할 수 있는 관계를 활용했다. 결국, 미소량의 곱을 무시하는 과정이 사실은 식을 선형화(linearise)하는 것이다. 미소량의 곱을 무시하지 않고 그 방정식의 해를 구하는 과정이 결국은 비선형(nonlinear) 현상을 다루는, 조금은 더 미세한 현상을 다루는 수학적 해법이라 할 수 있다.  

 

 따라서 위 관계식에서 양변을  δx로 나누고  δx를 무한소로 극한을 취하면, 다음과 같이 정리된다.

     

                    ------------------------------------------------------------ (2)

 

 여기서 (1)식을 시간 t로 미분하고, (2)식을 x로 미분하여 정리하면 다음 식을 구하게 된다. 

  

                     ----------------------------------------------------------- (3)

 

  한편, 소리는 압력의 교란이며 압력의 교란은 밀도함수로 온전히 나타낼 수 있다. 매질이 단열적이던 아니면 등온적이던 상관없이 국소적으로 응축과 희박한 변화가 일어나는 동안 밀도와 압력의 관계는 매질의 특성에 달려있다. 따라서 국소적인 압력을 밀도로서 다음과 같이 나타낼 수 있다.  

      

         

2차 도함수 이상의 미소항을 제거하는 선형화 작업을하고, 교란이 없을 경우의 압력, 즉 대기압 을 이항하여 총압력 에서 빼주면 결국 음압(: sound pressure)이 된다.

     

         

 

그런데 이 식에서 항은 밀도의 증가에 따라 압력이 증가하기 때문에 언제나 +의 값을 갖는다. 이 압력의 밀도에 대한 매질 특유의 상수를 일단 이라 놓으면  이 되므로 (3)식은 다음과 같이 정리된다.

 

 

                  ---------------------------------------------------- (4)

 

  (4)식이 일차원으로 속도 c로 전파하는 소리의 파동방정식이다. 일반적인 파동방정식은 18세기 스위스의 유명한 수학자인 E. Euler가 발견한 것으로 c는 파동의 위상속도로 해석된다. 이로서 위에서 주어진 압력의 밀도에 대한 변화율은 결국 소리의 공기중의 속도의 제곱이라고 이해할 수 있다. 이 편미분방정식인 파동방정식의 일반해는 다음과 같은 형태로 주어진다.  . 이식에서 는 [그림2]에서 보는 바와같이 좌에서 우로 진행하는 파동을 묘사하며, 는 함수의 이동과도 같이 함수를 x축을 따라 우에서 좌로 ct 만큼 이동한 식이므로 우에서 좌로 이동하는 소리를 표현함을 알 수 있다.

                                    [그림2] 파동의 전파(좌에서 우로 이동하는 파동)

 

 

위 파동방정식의 특별한 해의 형태는 조화함수(harmonic function)로 다음과 같이 쓸 수 있다. 

 

 

       

 

  여기서, (radian/sec)는 각진동수(angular frequency)이며,  그리고 (cycle/sec=Hz)는 주파수(frequency)이고 (sec)는 주기(period)가 된다. 앞 식은 복소함수로서 음압 는 실수부로 표현된다. 또, 소리의 파장(wavelength)은  이다. 그러므로 음압 는 다음과 같이 나타낼 수도 있다. 

 

        

 

 여기서, 는 파수(wave number)이고, 는 위상속도(phase velocity)  c 이다.

 

 

         --------------  by   Dajaehun