잔향시간에 대한 사빈(Sabine)공식

 

1) 실내음향학에서 실내음향환경을 파악하는데 있어 가장 중요한 인자는 잔향시간이다. 실내의 사용목적에 맞도록 음향환경을 조성하고자 할 때 1차적으로 적절한 잔향시간을 설정해야 하기 때문이다. 잔향시간은 건축음향학의 시조인 사빈(Wallace C. Sabine:1868-1919, 참조-건축음향학(1)(http://soryro.tistory.com/230))에 의해 제안된 시간으로써 광학(Optics)적인 선이론(ray theory)을 음향학에 적용한 좋은 사례로 볼 수 있다.  

 

 사빈 공식은 벽에 의한 흡음이 비교적 작은 소위 라이브(live)한 공간을 전제로 유도한다. 벽을 흡음율이 큰 재료로 처리하면 소리가 바로 흡수되어 소위 데드(dead)한 공간이 되기 때문에 잔향시간의 의미가 없기 때문이다. 아무튼 사빈공식의 유도는 공간에 균일한 음장(단위부피당 음향에너지(ε)일정)이 형성되었을 때 에너지 밀도와 에너지 흐름(energy flow=intensity(단위시간당 단위면적을 통과하는 음향에너지)) 사이의 관계로부터 출발한다. 

 

                  [그림 1]  실내공간의 체적요소(dV)와 실내 벽의 표면적요소(dS)

 

 [그림 1]에서 벽의 미소표면적 dS에서 수직방향으로 θ만큼 벗어나고 r만큼 떨어진 위치, 즉 소리에너지가 균일하게 분포한 확산음장(diffuse sound field)에 체적요소 dV를 설정한다. 이 부분의 음향에너지는 εdV가 된다. 그러면 dV 체적요소에 들어있는 음향에너지가 사방으로 방사한다고 볼 때 벽체의 면적요소 dS로 입사하는 음향에너지를 구할 수 있다.  일단 εdV의 음향에너지가 dV를 중심으로 반지름 r인 구(球) 표면적 에 고루 방사된다면 단위면적당 

이 되므로 dS의 동경방향성분인 dScosθ로 입사하는 음향에너지는 가 된다.

 다음은 [그림 1]의 (b)고리(두께: dr, 폭: rdθ, 반경: rsinθ) 부분의 음향에너지가 dS에 입사하는 에너지를 구할 수 있다. 이는 앞의 식에서 dV를 2πr sinθ r dr dθ로 대치하면 구할 수 있다. 결국 [그림 1]의 (b)고리에서 dS 벽체 표면적으로 입사하는 음향에너지를 구했으므로 이를 θ에 대하여 0에서 π/2까지 적분하면 반경 r이고 두께 dr인 반구(半球)에서 면적요소 dS로 입사하는 음향에너지 ΔE를 구할 수 있다.

 

                       --------(1)식

 (1)식은 sine 배각의 공식을 적용하여 쉽게 적분할 수 있다. (1)식으로부터 공간의 음장에서 벽체 표면적요소 dS에 단위시간당 입사하는 음향에너지를 구할 수 있다. 즉, 음속이 c이면 dr/c=Δt 이므로 ΔE/Δt=εc dS/4가 구해진다. 다음은 양 변을 dS로 나누어서 벽면의 단위면적으로 단위시간당 입사하는 음향세기를 구할 수 있다.  즉, 음향세기(acoustic intensity: I)는

                           ------------------------------------------(2)식

 

 그러나 실제 실내는 다양한 흡음율을 갖는 다양한 면적의 흡음재로 마감처리 되므로 단위시간당 벽으로 흡수되는 음향에너지는 (2)식을 활용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

                           -------(3)식

  여기서 로 대체했다.

 

 

 2) 상황을 바꾸어서 만약에 t=0일 때 W와트(watt)의 음원의 스위치를 넣으면 부피 V인 실내공간에 음향에너지가 축적되면서 벽에서 흡음이 일어날 것이다. 따라서 음원에서 단위시간당 공급하는 음향에너지 W는 음장의 에너지증가량과 벽에서의 흡음량의 합으로 쓸 수 있다. 다시 말해 다음과 같은 미분방정식을 구할 수 있다.

 

                            ------------------------------------------(4)식

 

 (4)식의 미분방정식을 풀면 다음과 같은 해가 구해진다.

 

                             ----------------------------------------(5)식

 

  (5)식에서 음원을 켠 후 시간이 지나면 에너지 밀도는 4W/ac로써 일정한 값을 갖는다.

 

 

 3) 잔향시간은 음원에서 음향에너지가 공급되어 균일한 어떤 음향에너지밀도()에 도달한 상태에서 음원의 스위치를 끄면 벽체 흡음 때문에 음향에너지 밀도가 시간에 따라 감소하기 때문에 계산 가능하다. (5)식으로부터 음향에너지 밀도의 감소가 지수함수적으로 감소함을 알 수 있다. 즉

 

                              ------------------------------------------------(6)식

 

 (6)식에서 ε=It, 이므로

 

                              ----------------------------------------(7)식

 

 (7)식의 양변에 IL(Intensity Level) 정의에 따라 10log를 취하면 다음과 같이 정리된다.

 

                               

 

이 식으로부터 우리는 잔향시간을 구할 수 있다. 잔향시간의 기준은 사빈이 처음에 제안한대로 60dB의 음향 세기가 감소하는데 걸리는 시간이므로 20℃에서의 음속 c=343m/s를 적용하여 구할 수 있다.

 

                                   -------------------------(8)식

 

(8)식을 보면 실내 공간이 클수록 잔향시간이 길고, 벽체의 흡음율과 흡음재 면적이 클수록 흡음이 잘되기 때문에 잔향시간이 짧아진다는 사실을 확인할 수 있다.

 

 잔향시간을 실측하는 경우 화약권총이나 풍선을 터트려 음원으로 사용하는데 잔향그래프가 이상적으로 구해지지는 않기 때문에 항상 상황에 맞추어 제대로 해석하고 측정해야 하겠다.

 

   ----------------- by  Dajaehun